Бахчиев Александр окончил фортепианное отделение Московского музыкального училища им. М. М. Ипполитова-Иванова (класс И. Р. Клячко), в 1953 г. — фортепианный факультет Московской консерватории (класс В. Н. Аргамакова, ассистент — И. Р. Клячко). В 1953-1956 гг. совершенствовался в аспирантуре (руководитель Л. Н. Оборин). В 1968 г. совместно со своей женой Е. Г. Сорокиной создал Фортепианный дуэт.
В 1989 г. Бахчиев и Сорокина были избраны президентами Ассоциации фортепианных дуэтов страны. Ассоциацией организованы и проведены множество различных конкурсов и фестивалей.
С именем Народного артиста России Александра Бахчиева связаны представления о лучших традициях русской фортепианной культуры. Бахчиева можно считать продолжателем пианистической школы К.Н. Игумнова: все его замечательные учителя И.Р. Клячко, В.Н. Аргамаков и Л.Н. Оборин — были учениками Игумнова. Во всем, что делал этот удивительный человек, движущей силой была безграничная любовь к музыке и к людям.